Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 606 01/11/2024

Trang trước

Trang sau

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{BAC} = 60°$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\vec{AD} = \frac{7}{12} \vec{AC}$

a) Tính $\vec{AB} . \vec{AC}$

b) Biểu diễn $\vec{AM}, \vec{BD}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$

c) Chứng minh $A M ⊥ B D$

*Lời giải

Tài liệu VietJack

a) Ta có $\vec{AB} . \vec{AC} = |\vec{AB}| . |\vec{AC}| . cos (\vec{AB}, \vec{AC}) {= 2 . 3 . cos 60}^{o} = 3.$

Vậy $\vec{AB} . \vec{AC} = 3$

b) Do M là trung điểm của BC nên $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$

Ta có $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \frac{7}{12} \vec{AC} - \vec{AB}$

c) Ta có $\vec{AM} . \vec{BD} = (\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}) . (\frac{7}{12} \vec{AC} - \vec{AB})$

$= \frac{7}{24} \vec{AB} . \vec{AC} - \frac{1}{2} {\vec{AB}}^{2} + \frac{7}{24} {\vec{AC}}^{2} - \frac{1}{2} \vec{AC} . \vec{AB} = \frac{7}{24} . 3 - \frac{1}{2} {. 2}^{2} + \frac{7}{24} {. 3}^{2} - \frac{1}{2} . 3 = 0$

Do đó $A M ⊥ B D$ .

*Phương pháp giải

- Tính tích của 2 vecto: $\vec{u} . \vec{v}$

- áp dụng quy tắc trung điểm trong vectơ để tính

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , khi đó độ dài của vectơ $\vec{a}$ được tính theo công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{2}^{2}}$

+ Cho hai điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\vec{A B}$ . Do đó ta có

+ Cho vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Khi đó góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính theo công thức:

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}}$

(với $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ )

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Khi đó:

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

2. Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b},$ kí hiệu là $[\vec{a}, \vec{b}]$ , được xác định bởi

$[\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|) = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$