Biết x,y là hai số nguyên dương thỏa mãn :3x^2 – 4xy + 2y^2 = 3

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 350 16/09/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Biết x,y là hai số nguyên dương thỏa mãn :3x²– 4xy + 2y²= 3. Tính giá trị của biểu thức M = x²⁰²² + (y – 3)²⁰²².

*Lời giải:

Ta có: 3x² – 4xy + 2y² = 3

⇔ x² = 3 – 2y² + 4xy – 2x²

⇔ x² = 3 – 2(x – y)²

Thấy (x – y)² ≥ 0 nên 3 – 2(x – y)² ≤ 3 với mọi x, y

Suy ra: x² ≤ 3 ⇒ x = 0 hoặc x = 1.

Vì x là số nguyên dương nên x = 1.

Thay vào 3x² – 4xy + 2y² = 3 ta được:

3 – 4y + 2y² = 3

⇔ 2y(y – 2) = 0

⇔ $[\begin{array}{l} y = 0 (L) \\ y = 2 \end{array}$

M = x²⁰²² + (y – 3)²⁰²² = 1²⁰²² + (2 – 3)²⁰²² = 1 + 1 = 2.

Vậy M = 2.

*Lý thuyết liên quan

Phương pháp chia hết:
- Sử dụng tính chất chia hết để tìm các giá trị của (x) và (y).
- Ví dụ: Nếu bài toán yêu cầu (3x + 17y = 159), bạn có thể kiểm tra tính chia hết của các số liên quan.
Phương pháp bất đẳng thức:
- Sử dụng các bất đẳng thức để giới hạn phạm vi của (x) và (y).
- Ví dụ: Nếu (x) và (y) phải thỏa mãn (x + y < 100), bạn có thể tìm các giá trị nguyên trong khoảng này.
Phương pháp hàm số:
- Xét hàm số và chứng minh tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số để tìm giá trị của (x) và (y).
- Ví dụ: Nếu hàm số (f(x) = x^2 + y^2) luôn đồng biến, bạn có thể tìm các giá trị phù hợp của (x) và (y).
Phương pháp hệ thức Vi-et:
- Sử dụng hệ thức Vi-et để giải các phương trình hoặc hệ phương trình.
- Ví dụ: Giải phương trình (x^3 + y^3 + 1 = 3xy) bằng cách sử dụng hệ thức Viet để tìm nghiệm.
Phương pháp thử và sai:
- Thử các giá trị nguyên dương của (x) và (y) để tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện.
- Ví dụ: Thử các giá trị (x = 1, 2, 3,…) và tìm (y) tương ứng để thỏa mãn phương trình.