Chứng minh rằng: (x^m + x^n + 1) chia hết cho x^2 + x + 1 khi và chỉ khi

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 368 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Chứng minh rằng: (x^m + xⁿ + 1) chia hết cho x² + x + 1 khi và chỉ khi

Đề bài: Chứng minh rằng: (x^m + xⁿ + 1) chia hết cho x² + x + 1 khi và chỉ khi (mn – 2) chia hết cho 3.

Lời giải:

Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2

n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2

Ta có: x^m + xⁿ + 1

= x^3k+r + x^3t+s + 1

= x^3kx^r – x^r + x^3tx^s – x^s + x^r + x^s + 1

= x^r (x^3k – 1) + x^s (x^3t – 1) + x^r + x^s + 1

Ta thấy: (x^3k – 1) ⋮ (x² + x + 1) và (x^3t – 1) ⋮ (x² + x + 1)

Vậy để (x^m + xⁿ + 1) ⋮ x² + x + 1 thì (x^r + x^s + 1) ⋮ (x² + x + 1) với 0 ≤ r, s ≤ 2

Hay khi: $[\begin{array}{l} r = 2; s = 1 \\ r = 1; s = 2 \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} m = 3 k + 2; n = 3 t + 1 \\ m = 3 k + 1; n = 3 t + 2 \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} m n - 2 = (3 k + 2) (3 t + 1) - 2 = 9 k t + 3 k + 6 t = 3 (3 k t + k + 2 t) \\ m n - 2 = (3 k + 1) (3 t + 2) - 2 = 9 k t + 6 k + 3 t = 3 (3 k t + 2 k + t) \end{array}$

Suy ra: mn – 2 ⋮ 3.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100. Tìm x biết 2(A + 2...

1 con bò nặng 4/7 con bò đó và 9 yến. Hỏi con bò đó nặng bao nhiêu tạ ...

Một hình bình hành có cạnh đáy dài hơn chiều cao 12 cm. Chiều cao bằng ...

Một viên gạch hình vuông cạnh 40 cm. Tính diện tích 10 viên gạch đó ...

Nêu định nghĩa n!...

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết 21, a chia hết 35 ...

Tìm số tự nhiên x sao cho 10 chia hết cho x – 1 ...

Chứng minh rằng: (x^m + x^n + 1) chia hết cho x^2 + x + 1 khi và chỉ khi ...

Hai người đi bộ cùng chiều, cùng một lúc từ hai địa điểm A và B để đi đến điểm M ...

Tìm x, y thuộc ℕ biết: 36 – y^2 = 8(x – 2010)^2 ...

Tìm các số tự nhiên n sao cho 3n + 7 chia hết cho n – 2 ...

Cho a – b = 10. Hãy tính A = (2a – 3b)^2 + 2(2a – 3b)(3a – 2b) + (2b – 3a)^2 ...

Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có 11^n+1 + 12^2n–1 chia hết cho 133 ...

Chứng minh rằng A = 7 + 7^2 + 7^3 +.. + 7^100 chia hết cho 50 ...

Thu gọn tổng sau A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100 ...

Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 5 ). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số ...

Rút gọn biểu thức: 3 (2^2 + 1) (2^4 + 1) (2^8 + 1) (2^16 + 1 ...

Số 2021 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố được không? Vì sao ...

Một trường học bán trú chuẩn bị số gạo cho 80 học sinh ăn trong 20 ngày ...

Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi là 30m. Chiều dài hơn chiều rộng 16m ...

Một sân chơi có hình chữ nhật với chiều dài 12m và chiều rộng 8m ...

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi bằng 0,56 km chiều rộng bằng ...

Người ta cấy lúa trên một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 120 m ...

Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 4 cm và diện tích bằng 160 cm2 ...

Tìm tất cả số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố ...

Tìm các số nguyên dương m, n biết: 2^m + 2^n = 2^m+n ...

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 15; a chia hết cho 18 ...

Tìm số tự nhiên x biết 36 chia hết cho x + 5 ...

Tìm trung bình cộng của các số lẻ có 3 chữ số ...

Tổng hai số là 724. Tìm số lớn biết rằng khi xóa chữ số 7 ở hàng trăm của số lớn ...

Hỏi nếu bán kính 1 hình tròn giảm đi 20% thì diện tích hình tròn giảm đi ...

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của ...

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên là ước của số A = 2^2 . 3^3 . 5 ...

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 140 m, chiều rộng bằng 0,75 lần chiều dài ...

Một chiếc điện thoại sau khi hạ giá hai lần, mỗi lần giảm 10% giá đang bán thì ...

Một người có số gạo nếp bằng 75% số gạo tẻ. Sau khi bán 6 kg gạo nếp thì ...

Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau và đều là số l ...

Tìm số tự nhiên n sao cho 2^n + 2023 là số chính phương ...

Cho hình chữ nhật có chu vi 324 m. Nếu ta tăng chiều dài thêm 5 m ...

Bạn An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để lớp liên hoan An ...

Các số chia hết cho 11 khi nào ...

Nêu 3 ví dụ về các số chia hết cho 11 ...

Phân số 24056/1000 được viết thành số thập phân là ...

Một người nuôi 85 con gà. Sau khi người đó mua thêm 20 con gà trống bằng ...

Cho phép tính : 30 + 31 + 32 + 33 + ..........+ 32008 + 32009 ...

Một ô tô trong 5 giờ đầu, mỗi giờ đi được 247 km. Trong 3 giờ sau mỗi giờ ...

Điền vào chỗ trống: 5 tấn 2 tạ = … tạ ...

Có 36 con vừa gà vừa chó. Tổng số chân của 36 con vừa gà vừa chó bằng 100 ...

Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi ...

Khi nhân một số thập phân với 16,3 do sơ xuất một bạn học sinh đã đặt các tích ...

1 368 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: