Chứng minh rằng: (x^m + x^n + 1) chia hết cho x^2 + x + 1 khi và chỉ khi

Chứng minh rằng: (x^m + xⁿ + 1) chia hết cho x² + x + 1 khi và chỉ khi

Đề bài: Chứng minh rằng: (x^m + xⁿ + 1) chia hết cho x² + x + 1 khi và chỉ khi (mn – 2) chia hết cho 3.

Lời giải:

Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2

n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2

Ta có: x^m + xⁿ + 1

= x^3k+r + x^3t+s + 1

= x^3kx^r – x^r + x^3tx^s – x^s + x^r + x^s + 1

= x^r (x^3k – 1) + x^s (x^3t – 1) + x^r + x^s + 1

Ta thấy: (x^3k – 1) ⋮ (x² + x + 1) và (x^3t – 1) ⋮ (x² + x + 1)

Vậy để (x^m + xⁿ + 1) ⋮ x² + x + 1 thì (x^r + x^s + 1) ⋮ (x² + x + 1) với 0 ≤ r, s ≤ 2

Hay khi: $\left[\begin{array}{l}r=2;s=1\\ r=1;s=2\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}m=3k+2;n=3t+1\\ m=3k+1;n=3t+2\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\\ mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\end{array}\right.$

Suy ra: mn – 2 ⋮ 3.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: