Tìm tất cả số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố

Tìm tất cả số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố

Đề bài: Tìm tất cả số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.

Lời giải:

Trường hợp 1:  p chẵn 

Vì p là số nguyên tố chẵn nên nó chỉ có thể là 2, nhưng 2 không thể là tổng 2 số nguyên tố vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất . 

⇒ p không tồn tại

Trường hợp 2:  p lẻ

Giả sử p = m + n ( m,n là số nguyên tố ). Mà p lẻ ⇒  trong m và n có 1 lẻ, 1 chẵn

Nếu m là số lẻ, n là số chẵn ⇒  n = 2 ⇒ p = m + 2 ⇒ m = p – 2 (1)

Tương tự, p = q – r ( q, r là số nguyên tố ).

Vì p là số lẻ ⇒  trong q và r có 1 lẻ, 1 chẵn

Xét q chẵn ⇒ q = 2 ⇒  p = 2 – r < 0 ( loại ) 

Vậy  q là số lẻ , r là số chẵn ⇒  r = 2 ⇒  p = q – 2 ⇒  q = p + 2 (2)

Từ (1) , (2) ta thấy  p – 2 ; p ; p + 2 là 3 số nguyên tố lẻ (3) 

+ Nếu p < 5 ⇒ p – 2 < 3 ⇒  p – 2 không thể là số nguyên tố lẻ

+ Nếu p = 5 ⇒ (3) thỏa mãn ⇒  p = 5 .

+ Nếu p > 5 ⇒ p – 2 ; p ; p + 2 đều lớn hơn 3

+ Nếu p – 2 chia 3 dư 1 thì p chia hết cho 3 ⇒ p không phải số nguyên tố (loại) 

+ Nếu p–2 chia 3 dư 2 thì p + 2 chia hết cho 3 ⇒ p + 2 ko phải số nguyên tố (loại) 

⇒ p chỉ có thể là 5

Vậy p = 5. 

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: