Cho x, y là hai số thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 259 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Cho x, y là hai số thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy

Đề bài: Cho x, y là hai số thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{3} + y^{3} - 3 (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})$ .

Lời giải:

Đặt t = x + y (t ≥ 2).

Theo đề, ta có 3(x + y) = 4xy. Suy ra $x y = \frac{3 t}{4}$ .

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có (x + y)² ≥ 4xy.

⇔ (x + y)² ≥ 3(x + y) (theo giả thiết).

⇔ (x + y)² – 3(x + y) ≥ 0.

⇔ (x + y)(x + y – 3) ≥ 0.

⇔ x + y – 3 ≥ 0.

⇔ x + y ≥ 3.

⇔ t ≥ 3.

Mặt khác, vì x, y ≥ 1 nên ta có (x – 1)(y – 1) ≥ 0.

⇔ xy – (x + y) + 1 ≥ 0.

$\Leftrightarrow \frac{3 t}{4} - t + 1 \geq 0$

⇔ t ≤ 4.

Vì vậy ta có 3 ≤ t ≤ 4.

Theo đề, ta có 3(x + y) = 4xy.

Tài liệu VietJack

Tài liệu VietJack

Suy ra hàm số P(t) đồng biến trên [3; 4].

Vậy:

⦁ Giá trị nhỏ nhất của P là $P (3) = \frac{49}{12}$ khi t = 3 $\Leftrightarrow x = y = \frac{3}{2}$ .

⦁ Giá trị lớn nhất của P là $P (4) = \frac{74}{3}$ khi t = 4 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \land y = 3 \\ x = 3 \land y = 1 \end{array}$ .

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3...

Chứng minh rằng: nếu 1 tam giác có 2 đường trung tuyến vuông góc với nhau ...

Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó ...

Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90° biết ...

Tìm ảnh của đường tròn (C): ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ...

Cho đồ thị chuyển động của hai xe được mô tả trên hình vẽ ...

Cho đồ thị chuyển động của hai xe được mô tả như hình vẽ. (Hình 1 ...

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN ...

Tính giá trị nhỏ nhất của $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ với a, b, c > 0 ...

Xét các mệnh đề sau (I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0 ...

Tính tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 99 ...

Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 99 là ...

Tổng các ước tự nhiên của số 75 là ...

Số ước tự nhiên của 75 là bao nhiêu ...

Cho a, b thuộc N. Chứng tỏ rằng nếu 5a + 3b và 13a + 8b cùng chia hết cho 2012 ...

Số nào sau đây: 13, 15, 17, 19 là hợp số ...

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; AC = 4cm, đường cao AH ...

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau ...

Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau ...

Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển ${(x + 2)}^{10}$ ...

Tìm số hạng thứ năm trong khai triển ${(x + \frac{2}{x})}^{10}$ mà trong khai triển đó số mũ của x ...

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B ...

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 4 nữ và 6 nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 ...

Có 6 học sinh nam và 2 học sinh nữ được xếp thành một hàng ngang ...

Một cái bể bơm có thể bơm đầy 1 cái bể trong 6 giờ . máy thứ hai bơm đầy bể mất ...

Hai máy bơm cùng làm việc thì sau 12 giờ bơm nước đầy bể, nếu máy bơm thứ nhất ...

Cho đường thẳng d: y = (2m + 1)x - 2 ...

Cho 2^n + 1 là số nguyên tố (n > 2 ...

Cho $2^{n} - 1$ là số nguyên tố. Chứng minh n cũng là số nguyên tố ...

Số 0 và số 1 có phải số chính phương không ...

Tứ giác ABCD có góc A : góc B : góc C : góc D tỉ lệ với 3 : 4 : 5 : 6 ...

Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc A, B, C, D tỉ lệ thuận với 4; 3; 5; 6 ...

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 4x^2 – 8xy + 4y^2 ...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 3), B(2; –1), C(–1; 5 ...

Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; –3), B(2; 1), D(5; 5 ...

25 – (–17) + 24 – 12 ...

(13 + 49) – (13 – 135 + 49 ...

Chứng minh 2n^3 + 3n^2 + n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n ...

Chứng minh rằng với mọi n thuộc ℕ*, ta có 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 ...

Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 ...

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ có chiều cao 1,75 m ...

Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ...

Cho x, y là hai số thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy ...

Cho biểu thức A = (1/căn x - 2) - (1/căn x +2)...

1 259 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: