Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1

Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1

Đề bài: Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh ${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2\ge \frac{25}{2}$ .

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a > 0, b > 0, ta được: ${\left(a+b\right)}^2\ge 4ab$ .

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=\frac{1}{2}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta được:

Dấu “=” xảy ra ⇔ $a=b=\frac{1}{2}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: