Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O, góc ABD = góc ACD

Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O, góc ABD = góc ACD

Đề bài: Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O, $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$. Gọi E là giao điểm của AD và BC CMR :

a) Các tam giác AOB và DOC đồng dạng.

b) Các tam giác AOD và BOC đồng dạng.

c) EA . ED = EB . EC.

Lời giải:

a) Xét $\Delta AOB$ và $\Delta DOC$ có:

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

do đó : $\Delta AOB$ đồng dạng với $\Delta DOC$  (g-g)

b) theo cm câu a: $\Delta AOB$ đồng dạng với $\Delta DOC$

$\Rightarrow \frac{\text{AO}}{\text{OD}}\text{ = }\frac{\text{OB}}{\text{OC}}$

Xét $\Delta AOD$ và $\Delta BOC$ có:

$\frac{\text{OA}}{\text{OD}}\text{ = }\frac{\text{OB}}{\text{OC}}$

$\widehat{\text{AOD}}\text{ = }\widehat{\text{BOC}}$ (2 góc đối đỉnh)

Do đó: $\Delta AOD$  đồng dạng với $\Delta BOC$  (c-g-c)

c) Xét $\Delta DBE$ và $\Delta CAE$ có:

$\widehat{DEC}$ chung

$\widehat{\text{EDB}}\text{ = }\widehat{\text{ACE}}$ ( 2 góc tương ứng của $\Delta AOD$ đồng dạng với $\Delta BOC$ )

Do đó: $\Delta DBE$ đồng dạng với $\Delta CAE$ (g - g)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{\text{EB}}{\text{EA}}\text{ = }\frac{\text{ED}}{\text{EC}} \\ \Rightarrow \text{EA . ED = EB . EC} \end{gathered}$$

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: