Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh diện tích tam giác ABC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.BA.\sin \widehat{B}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}=\frac{1}{2}.CA.CB.\sin \widehat{C}$.

Lời giải:

Kẻ đường cao AH, BD

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$ (*)

Mà tam giác AHB vuông tại H nên: $\sin \widehat{B}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=AB.\sin \widehat{B}$

Khi đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{B}$

Tương tự: Trong tam giác AHC vuông tại H có: $\sin \widehat{C}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.\sin \widehat{C}$

Khi đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \widehat{C}$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.BD.AC$ (*)

Trong tam giác BAD vuông tại D có: $\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin \widehat{A}$

Thay vào (*) có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.BD.AC=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}$.