Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD. Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK. Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=90°$.

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của CK và AB.

Tam giác CDK vuông tại D có đường cao DI nên KD² = KI . KC

Mà KD = KA nên KA² = KI . KC

⇒ $\frac{KA}{KI}=\frac{KC}{DA}$

Xét ΔKAI và ΔKCA có:

$\frac{KA}{KI}=\frac{KC}{DA}$

$\widehat{K}$ chung

⇒ ΔKAI ∽ ΔKCA (c.g.c)

⇒ $\widehat{KIA}=\widehat{KAC}$

mà $\widehat{KAC}=\widehat{KAE}$(do AK là tia phân giác $\widehat{BAC}$) nên $\widehat{KIA}=\widehat{KAE}$

Từ đó suy ra: ΔEAK ∽ ΔEIA (g.g) ⇒ $\widehat{EKA}=\widehat{EAI}$

Hay $\widehat{DKC}=\widehat{BAI}$

Hơn nữa $\widehat{DKC}=\widehat{IDC}$(cùng phụ với $\widehat{DCK}$) nên $\widehat{DKC}=\widehat{BAI}$

⇒ Tứ giác IABD nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện)

⇒$\widehat{AIB}=\widehat{ADB}$

Mà $\widehat{ADB}=90°$

Nên $\widehat{AIB}=90°$.