Cho phương trình x^2 – 5mx – 4m = 0 với m là tham số. Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho phương trình x² – 5mx – 4m = 0 với m là tham số. Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì x₁² + 5mx₂ + m² + 14m + 1 > 0.

Lời giải:

Xét x² – 5mx – 4m = 0

Ta có: ∆ = 25m² + 16m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

Suy ra: 25m² + 16m > 0 hay $\left[\begin{array}{l}m>0\\ m<\frac{-16}{25}\end{array}\right.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5m\\ x_1{x}_2=-4m\end{array}\right.$

Xét x₁² + 5mx₂ + m² + 14m + 1

= x₁² + (x₁ + x₂)x₂ + m² + 14m + 1

= x₁² + x₂² + x₁x₂ + m² + 14m + 1

= (x₁ + x₂)² - x₁x₂ + m² + 14m + 1

= 25m² + 4m + m² + 14m + 1

= 26m² + 18m + 1

= (m + 1)² + 25m² + 16m

Mà 25m² + 16m > 0 và (m + 1)² > 0 theo điều kiện của m

Vậy (m + 1)² + 25m² + 16m > 0 tức là x₁² + 5mx₂ + m² + 14m + 1 > 0