Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, góc BSC = 60 độ

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, $\widehat{BSC}=60°$ cạnh SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với (SAB) góc 30 độ. Thể tích khối chóp đã cho.

Lời giải:

Từ C kẻ CH⊥AB tại H. Từ H kẻ HK⊥SB tại K.

+ Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) là SB.

$\left\{\begin{array}{l}HK\in \left(SAB\right)\\ HK\perp SB\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}CH\perp SB\\ HK\perp SB\end{array}\right.\Rightarrow SB\perp CK$

mà CK ∈ (SBC)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) là $\widehat{CKH}=30°$

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AC\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp SC$

Tam giác SBC vuông tại C có góc $\widehat{BSC}=60°$ nên: $SC=\frac{a}{\sqrt{3}};SB=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

+ Tam giác SBC vuông tại C có CK là đường cao nên

$\frac{1}{C{K}^2}=\frac{1}{C{S}^2}+\frac{1}{C{B}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{3}{a^2}=\frac{4}{a^2}$

Suy ra: $CK=\frac{a}{2}$

+ Tam giác CKH vuông tại H (vì CH⊥(SAB)) và $\widehat{CKH}=30°$ nên: $CH=CK.\sin 30°=\frac{a}{4}$

+ Tam giác ABC vuông tại C và có CH là đường cao nên $\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{C{A}^2}+\frac{1}{C{B}^2}\Rightarrow \frac{1}{C{A}^2}=\frac{1}{C{H}^2}-\frac{1}{C{B}^2}=\frac{16}{a^2}-\frac{1}{a^2}=\frac{15}{a^2}$

Suy ra: $AC=\frac{a}{\sqrt{15}}$

+ Tam giác ABC vuông tại C nên $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\frac{4a}{\sqrt{15}}$

+ Tam giác SAB vuông tại nên $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}-\frac{16a^2}{15}}=\frac{2a}{\sqrt{15}}$

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{6}.SA.AC.BC=\frac{1}{6}.\frac{2a}{\sqrt{15}}.\frac{a}{\sqrt{15}}.a=\frac{a^3}{45}$.