Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM=AC/4

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho $AM=\frac{AC}{4}$ ; N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh tam giác BMN vuông cân.

Lời giải:

Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)$

Do AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD nên $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=\overrightarrow{0};{\overrightarrow{x}}^2={\overrightarrow{y}}^2$

Khi đó: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(3\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right)$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}\right).\frac{1}{4}\left(3\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right)=\frac{1}{16}\left(3{\overrightarrow{x}}^2-3{\overrightarrow{y}}^2+8\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}\right)=0$

Mặt khác: ${\overrightarrow{MB}}^2=\frac{1}{16}{\left(3\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right)}^2=\frac{5}{8}{\overrightarrow{y}}^2$

${\overrightarrow{MN}}^2=\frac{1}{16}{\left(\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}\right)}^2=\frac{5}{8}{\overrightarrow{y}}^2$

Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.