Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Trên cạnh BC lấy điểm E, đường thẳng AE cắt đường thẳng CD tại điểm M

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Trên cạnh BC lấy điểm E, đường thẳng AE cắt đường thẳng CD tại điểm M. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh $\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{a^2}$ .

Lời giải:

Xét tam giác AEB và tam giác MAD có:

$\widehat{ABE}=\widehat{MDA}=90°$

$\widehat{AEB}=\widehat{MAD}$ (so le trong)

Vậy nên ΔAEB ∽ ΔMAD(g.g)

⇒ $\frac{AE}{MA}=\frac{BE}{DA}$

⇒ AE.DA = AM.BE

⇒ AE².a² = MA².BE²

⇒ AE².a² = MA²(AE² – AB²) = MA².AE² – MA².AB²

⇒ AE².a² + MA².AB² = MA².AE²

a²(AE² + MA²) = MA².AE²

⇒ $\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{a^2}$.