Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song AC, vẽ đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau tại K.

a) Tứ giác OBKC là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh: AB = OK.

c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông.

Lời giải:

a) Xét hình thoi ABCD có AC và BD là hai đường chéo

Suy ra: AC vuông góc BD tại O ⇒ $\widehat{BOC}=90°$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BO\perp AC\\ CK\parallel BD\end{array}\right.\Rightarrow CK\perp AC\Rightarrow \widehat{KCO}=90°$

$\left\{\begin{array}{l}BK\parallel AC\\ BD\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow BK\perp BD\Rightarrow \widehat{KBO}=90°$

Tứ giác BOCK có: $\widehat{BOC}=\widehat{KCO}=\widehat{KBO}=90°$

Nên ONKC là hình chữ nhật.

b) Vì OBKC là hình chữ nhật (chứng minh câu a)

Nên BC = OK

Mà BC = AB (vì ABCD là hình thoi)

Suy ra AB = OK

Vậy AB = OK

c) OBKC là hình chữ nhật, do đó để OBKC là hình vuông thì OB = OC.

ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD.

⇒ $OB=\frac{1}{2}OD;OC=\frac{1}{2}AC$

Mà OB = OC nên AC = BD.

Do đó ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông thì tứ giác OBKC là hình vuông.