Cho hình thang vuông ABCD () cạnh , gọi H là hình chiếu của D lên AC. M, N là trung điểm của HC và HD

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}=90°$) cạnh $AB=\frac{1}{2}CD$ , gọi H là hình chiếu của D lên AC. M, N là trung điểm của HC và HD.

a) Tứ giác ABMN là hình gì?

b) Chứng minh: $\widehat{BMD}$= 90°.

Lời giải:

a) Tứ giác ABMN là hình bình hành vì:

+) MN // AB // DC do MN là đường trung bình của tam giác HDC nên MN // DC mà DC // AB

+) Và $MN=\frac{1}{2}CD$

Mà $AB=\frac{1}{2}CD$ nên MN = AB.

b) Để chứng minh $\widehat{BMD}=90°$ , ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang vuông và hình chiếu.

Xét tam giác ADM có: DH vuông góc AM (giả thiết)

MN // DC và DC ⊥ AD nên MN ⊥ AD

Xét trong tam giác ADM có: MN ⊥ AD và DH ⊥ AM

Nên N là trực tâm của tam giác ADM

Suy ra: AN ⊥ DM

Gọi E là hình chiếu của B lên AC. Ta có:

Tam giác ABC vuông tại B, ta có BE là đường cao, do đó AE = EC.

Tam giác ACD vuông tại D, ta có DH là đường cao, do đó AH = HC.

Vì CD = 2AB và AE = EC, ta có:

AC = AE + EC = 2AB + AB = 3AB.

Lại có: AH = HC

Vậy, ta có AM = MN = ND = DH = AB.

Vậy, ta có AM = MN = ND = DH = AB.

Ta có tứ giác ABMN là tứ giác cân, với AM = MN và BM = ND.

Vì AM = MN = ND = DH = AB, nên ABMN là hình vuông.

Vậy $\widehat{BMD}=90°$ .