Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều ba đỉnh A, B, C

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều ba đỉnh A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác BAC

Do tam giác ABC đều cạnh a nên: $AG=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$S_{ABC}^{}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do A’ cách đều ba đỉnh A, B, C nên A’G vuông góc (ABC)

Suy ra: A’G là đường cao của khối lăng trụ

Theo giả thiết ta có: $\widehat{A\text{'}AG}=45°$

Suy ra: tam giác A’GA vuông cân

Từ đó suy ra: $A\text{'}G=AG=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V=A\text{'}G.S_{ABC}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{4}$