Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC. Trên AC, CD ta lấy các điểm M, N sao cho

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC. Trên AC, CD ta lấy các điểm M, N sao cho $\frac{AM}{AH}=\frac{DN}{DC}$ . Chứng minh bốn điểm M, B, C, N nằm trên một đường tròn.

Lời giải:

Kẻ NI // BC

Ta có: $\frac{DN}{DC}=\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AH}$

Suy ra: MI // BH

⇒ $\widehat{IMB}=\widehat{MBH}\left(1\right)$

Tứ giác IBCN có: $\widehat{IBC}=\widehat{BIN}=\widehat{BCN}$

⇒ Tứ giác IBCN là hình chữ nhật

⇒ $\widehat{NBC}=\widehat{BCI}\left(2\right)$

Xét tứ giác IMCB có

$\widehat{IMC}=90°$(vì IM // BH và BH vuông góc AC)

$\widehat{IBC}=90°$

⇒ Tứ giác IMCB là tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ $\widehat{IMB}=\widehat{ICB}\left(3\right)$ (cùng chắn cung IB)

Từ (1), (2), (3) ⇒ $\widehat{MBH}=\widehat{NBC}$

⇒ $\widehat{BMC}=90°-\widehat{MBH}=90°-\widehat{NBC}=\widehat{CNB}$

⇒Tứ giác MBCN nội tiếp đường tròn

Hay M, B, C, N cùng nằm trên một đường tròn.