Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh SD, N thuộc cạnh SA sao cho NS = 2NA

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 103)

Đề bài. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh SD, N thuộc cạnh SA sao cho NS = 2NA. Gọi I là giao điểm của mp (OMN) và cạnh CD. Tính $\frac{IC}{ID}$ .

Lời giải:

Chọn CD ⊂ (SCD)

Ta có M ∈ (OMN) ∩ (SCD)

Trong (SAC), kẻ ON cắt Sc tại K

Suy ra K ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ K ∈ (SCD) ∩ (OMN)

Ta được: MK = (OMN) ∩ (SCD)

Trong (SCD), MK ∩ CD = I

⇒ I = (OMN) ∩ CD

Áp dụng định lý Menelaus đối với △SCD cho 3 điểm K, M, I thẳng hàng ta được: $\frac{IC}{ID}.\frac{DM}{MS}.\frac{SK}{KC}=1\iff \frac{IC}{ID}\mathrm{.1.}\frac{SK}{KC}=1\iff \frac{IC}{ID}=\frac{SK}{KC}$

Tiếp tục áp dụng định lý Menelaus cho △SAC với K, N, O thẳng hàng ta được: $\frac{KS}{KC}.\frac{CO}{OA}.\frac{NA}{NS}=1\iff \frac{KS}{KC}\mathrm{.1.}\frac{1}{2}=1\iff \frac{KS}{KC}=\frac{IC}{ID}=\frac{1}{2}$

(CO = AO do O là tâm hình bình hành ABCD).