Cho hàm số y= 2x^3 - 3(m + 1)x^2 + 6mx + m3 với m là tham số thực

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho hàm số y= 2x³ - 3(m + 1)x² + 6mx + m³ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B thỏa mãn $AB=\sqrt{2}$.

Lời giải:

Ta có: y’ = 6x² – 6(m + 1)x + 6m

y’ = 0 ⇔ x² – (m+ 1)x + m = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=m\end{array}\right.$

Để hàm số có hai điểm cực trị khi m khác -1

Tọa độ các điểm cực trị là A( 1; m³+ 3m-1) và B( m; 3m²)

Suy ra: AB² = (m – 1)² + (m³ – 3m² + 3m – 1)² = (m – 1)² + (m – 1)⁶

Theo yêu cầu bài toán có: $AB=\sqrt{2}$

⇔ ${\left(m-1\right)}^6+{\left(m-1\right)}^2-2=0$

⇔ ${\left[{\left(m-1\right)}^2\right]}^3-1+\left[{\left(m-1\right)}^2-1\right]=0$

⇔ $\left[{\left(m-1\right)}^2-1\right]\left[{\left(m-1\right)}^4+{\left(m-1\right)}^2+2\right]=0$

⇔ (m – 1)² – 1 = 0

⇔ (m – 1)² = 1

⇔ $\left[\begin{array}{l}m-1=1\\ m-1=-1\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.$.