Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức:

$P=\frac{1}{{\left(a+b\right)}^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{{\left(a+b\right)}^4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{{\left(a+b\right)}^5}$.

Lời giải:

Với ab = 1, a + b ≠ 0 ta có:

$P=\frac{1}{{\left(a+b\right)}^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{{\left(a+b\right)}^4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{{\left(a+b\right)}^5}$

$P=\frac{a^3+b^3}{{\left(a+b\right)}^3{\left(ab\right)}^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{{\left(a+b\right)}^4{\left(ab\right)}^2}+\frac{6\left(a+b\right)}{{\left(a+b\right)}^5.ab}$

$P=\frac{a^3+b^3}{{\left(a+b\right)}^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{{\left(a+b\right)}^4}+\frac{6\left(a+b\right)}{{\left(a+b\right)}^5}$

$P=\frac{a^2+b^2-1}{{\left(a+b\right)}^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{{\left(a+b\right)}^4}+\frac{6}{{\left(a+b\right)}^4}$

$P=\frac{\left(a^2+b^2-1\right){\left(a+b\right)}^2+3\left(a^2+b^2\right)+6}{{\left(a+b\right)}^4}$

$P=\frac{{\left(a^2+b^2\right)}^2+4\left(a^2+b^2\right)+4}{{\left(a+b\right)}^4}$

$P=\frac{{\left(a^2+b^2+2\right)}^2}{{\left(a+b\right)}^4}$

$P=\frac{{\left(a^2+b^2+2ab\right)}^2}{{\left(a+b\right)}^4}$

$P=\frac{{\left[{\left(a+b\right)}^2\right]}^2}{{\left(a+b\right)}^4}=1$

Vậy P = 1.