Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') (R > R') tiếp xúc ngoài nhau tại A. Qua A kẻ hai cát tuyến BD và CE

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') (R > R') tiếp xúc ngoài nhau tại A. Qua A kẻ hai cát tuyến BD và CE (B, C ∈ (O')); D, E ∈ (O)). Chứng minh: $\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$.

Lời giải:

Xét tam giác O'AC có O'A = O'C = R' nên tam giác O'AC cân tại O'

Suy ra: $\widehat{CO\text{'}A}=180°-2\widehat{O\text{'}AC}$

Tương tự: tam giác OAE cân tại O nên: $\widehat{EOA}=180°-2\widehat{OAE}$

Mà $\widehat{O\text{'}AC},\widehat{OAE}$ là 2 góc đối đỉnh nên $\widehat{O\text{'}AC}=\widehat{OAE}$

Suy ra: $\widehat{CO\text{'}A}=\widehat{EOA}$

Xét tam giác O'CA và OAE có:

$\frac{OA\text{'}}{OA}=\frac{OC\text{'}}{OC}=\frac{R\text{'}}{R}$

$\widehat{CO\text{'}A}=\widehat{EOA}$

⇒ ∆O'AC ∽ ∆OAE (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{AOE}=\widehat{AO\text{'}C}$

Mà: $\widehat{AOE}=2\widehat{ADE}$(vì $\widehat{AOE}$ là góc ở tâm, chắn cung $\stackrel{⏜}{AE}$, $\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AE}$)

Và $\widehat{AO\text{'}C}=2\widehat{ABC}$(vì $\widehat{AO\text{'}C}$ là góc ở tâm, chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$, $\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AC}$)

Suy ra: $\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$.