Cho dãy số un = 1/ 1.1! + 1/2.2! + 1/3.3!...

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho dãy số $u_n=\frac{1}{1.1!}+\frac{1}{2.2!}+\frac{1}{3.3!}+\mathrm{...}+\frac{1}{2013.2013!}$. Chứng minh rằng $u_n<\frac{3}{2}$.

Lời giải:

Ta thấy:$\frac{1}{1.1!}=1;\frac{1}{2.2!}=\frac{1}{4}$

Đặt $P=\frac{1}{3.3!}+\mathrm{...}+\frac{1}{2013.2013!}$

$P=\frac{1}{\mathrm{3.1.2.3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\mathrm{2013.1.2....2013}}$

$P<\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\mathrm{2011.2012.2013}}$

$P<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2011.2012}-\frac{1}{2012.2013}\right)$

$P<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2012.2013}\right)$

$P<\frac{1}{4}-\frac{1}{\mathrm{2.2012.2013}}<\frac{1}{4}$

Suy ra: $u_n<1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$.