Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1, x^3 + y^3 = 2. Tính giá trị của biểu thức M = xy, N = x^5 + y^5

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1, x³ + y³ = 2.

Tính giá trị của biểu thức M = xy, N = x⁵ + y⁵.

Lời giải:

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = x² – xy + y² = (x + y)² – 3xy = 1 – 3xy

⇔ 3xy = 1 – 2 = -1

⇔ $xy=-\frac{1}{3}$

Suy ra: $M=xy=-\frac{1}{3}$

Lại có: x² + y² = (x + y)² – 2xy = $1-2\left(-\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$

N(x + y) = (x⁵ + y⁵)(x + y) = x⁶ + x⁵y + xy⁵ + y⁶

= (x²)³ + (y²)³ + xy(x⁴ + y⁴)

= (x² + y²)[(x²)² – x²y² + (y²)²] + xy[(x²)² + 2x²y² + (y²)² - 2x²y²]

$=\frac{5}{3}\left[{\left(x^2+y^2\right)}^2-3{\left(xy\right)}^2\right]-\frac{1}{3}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^2-2.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2\right]$

$=\frac{5}{3}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^2-3.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2\right]-\frac{1}{3}.\frac{23}{9}$

$=\frac{5}{3}.\frac{22}{9}-\frac{23}{27}=\frac{29}{9}$

Suy ra: N = x⁵ + y⁵ = $\frac{29}{9}$.