Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x^2 + 2xy + y^2 = 3. Tìm GTLN, GTNN của P = x^2 + 2xy – y^2

    Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

    1 549 20/02/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

    Đề bài. Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3.

    Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.

    Lời giải:

    Ta có: P3=x2+2xy−y24x2+2xy+y2 (*)

    Xét y = 0 thì x2 = 34⇒x=±32

    Suy ra: P=322+2.32.0−02=34P=−322+2.−32.0−02=34

    Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: P3=xy2+2xy−14xy2+2xy+1

    Đặt xy=a⇒P3=a2+2a−14a2+2a+1

    * Xét P3−−2=a2+2a−14a2+2a+1+2=3a+124a2+2a+1

    Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên 3a+124a2+2a+1≥0

    Suy ra: P3−−2≥0⇒P≥−6

    Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = −13⇔xy=−13⇔−3x=y

    Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3

    ⇔ x=217x=−217⇒y=−3217y=3217

    Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = 217;−3217;−217;3217

    * Xét P3−13=a2+2a−14a2+2a+1−13=−a−224a2+2a+1

    Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: −a−224a2+2a+1≤0,∀a

    Suy ra: P3−13≤0⇒P≤1

    Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.

    Khi đó x = 2y

    Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3

    ⇔ y=17y=−17⇒x=27x=−27

    Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = 27;17;−27;−17

     Xem thêm các bài giải bộ 15000 câu hỏi Toán hay và chi tiết tại:

    Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.

    Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 378. Tính giá trị của biểu thức .

    Cho C = 1 + 31 + 32 + … + 311. Chứng minh rằng C ⋮ 13.

    Cho x ∈ ℕ nhưng x ∉ ℕ* số x là:

    A.1

    B. Bất kì số tự nhiên nào

    C. 0

    D. Không tồn tại số x

    Cho bốn số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của mỗi hai số chia hết cho 2 và tổng của mỗi ba số chia hết cho 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này?

    Cho biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1993. Tính giá trị biểu thức P với

    Cho 7 số tự nhiên khác nhau có tổng bằng 100. Chứng minh rằng trong 7 số luôn có 3 số mà tổng của chúng lớn hơn hoặc bằng 50.

    Cho B = 1 + 5 + 52 + … + 5100. Hỏi 4B + 1 có phải số chính phương không?

    Hình vẽ cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC, BC.

    Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh sinA + cosA + sinC + cosC > 2.

    Cho hai tập hợp khác rỗng A = [m – 1; 5) và B = [-3; 2m + 1]. Tìm m để A ⊂ B.

    Cho A = (m; m + 3) và B (2; 6m + 1). Tìm m để A ∩ B = ∅.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 549 20/02/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: