Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc.

Chứng minh rằng: $\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{3}{2}$.

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài ta có: $\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

$a^2+bc\ge 2\sqrt{a^2.bc}=2a\sqrt{bc}$

⇒ $\frac{a}{a^2+bc}\le \frac{a}{2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}$

$\frac{1}{\sqrt{b}}.\frac{1}{\sqrt{c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ ⇒ $\frac{a}{a^2+bc}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Tương tự ta có: $\frac{b}{b^2+ac}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$

$\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

Suy ra: $\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}$.