Cho 3 số dương x, y, z có tích bằng 144. Tìm GTNN

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho 3 số dương x, y, z có tích bằng 144. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\left(x+\frac{1}{4}y\right)\left(y+\frac{1}{9}z\right)\left(x+\frac{1}{36}z\right)$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$P=\left(x+\frac{1}{4}y\right)\left(y+\frac{1}{9}z\right)\left(x+\frac{1}{36}z\right)$

$\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{4}y}.2\sqrt{y.\frac{1}{9}z}.2\sqrt{x.\frac{1}{36}z}=8\sqrt{x^2{y}^2{z}^2.\frac{1}{4}.\frac{1}{9}.\frac{1}{36}}=32$

Vậy GTNN của P là 32 khi:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}y\\ y=\frac{1}{9}z\\ x=\frac{1}{36}z\\ xyz=144\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\\ z=36\end{array}\right.$.