Bạn An mỗi ngày giải ít nhất một bài toán, nhưng mỗi tuần giải không quá 13 bài

Bạn An mỗi ngày giải ít nhất một bài toán, nhưng mỗi tuần giải không quá 13 bài

Đề bài: Bạn An mỗi ngày giải ít nhất một bài toán, nhưng mỗi tuần giải không quá 13 bài toán. Chứng minh có một số ngày liên tiếp mà bạn ấy giải đúng 20 bài toán.

Lời giải:

Gọi n₁ là số bài toán bạn An đã giải trong ngày đầu tiên;

n₂ là số bài toán bạn An đã giải trong hai ngày đầu;

n₃ là số bài toán bạn An đã giải trong ba ngày đầu;

n₄ là số bài toán bạn An đã giải trong bốn ngày đầu;

...

n₇₇ là số bài toán bạn An đã giải trong 77 ngày đầu (11 tuần).

Theo đề, ta có mỗi tuần bạn An giải không quá 13 bài toán.

Tức là, n₇₇ ≤ 11.13 = 143.

Ta xét tập hợp các số tự nhiên M = {n₁; n₂; n₃; ...; n₇₇; n₁ + 20; n₂ + 20; ...; n₇₇ + 20}.

Tập hợp M chứa 154 phần tử và phần tử lớn nhất là n₇₇ + 20 ≤ 143 + 20 = 163.

Theo nguyên lí Dirichlet, trong M có ít nhất hai số bằng nhau.

Mà các số n₁, n₂, n₃, ..., n₇₇ là hoàn toàn khác nhau.

Suy ra tồn tại hai số n_h và n_k sao cho n_h = n_k + 20, với 1 < h ≤ 77.

Do đó n_h – n_k = 20.

Điều này có nghĩa là ngày thứ k + 1 đến ngày thứ h, bạn An phải giải đúng 20 bài toán.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: