Tìm x, y > 0 thỏa mãn x^3 + y^3 = 3xy – 1

Tìm x, y > 0 thỏa mãn x³ + y³ = 3xy – 1

Đề bài: Tìm x, y > 0 thỏa mãn x³ + y³ = 3xy – 1.

Lời giải:

x³ + y³ = 3xy – 1

⇔ x³ + y³ – 3xy + 1 = 0

⇔ (x+y)³ – 3xy(x+y) – 3xy + 1 = 0

⇔ (x+y+1)(x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy) = 0

Suy ra:

$\left[\begin{array}{l}x+y+1=0\\ x^2+2xy+y^2–x–y+1-3xy=0\end{array}\right.$

Vì x, y > 0 nên x + y + 1 > 0

Xét x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy = 0

⇔ 2 (x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy) = 0

⇔ (x – y)² + (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 0

⇔ (x – y)² + (x – 1)² + (y – 1)² = 0

Suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x-1=0\\ y-1=0\end{array}\right.$ hay x = y = 1.

Vậy x = y = 1.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: