Chứng minh bất đẳng thức: a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 388 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Lời giải:

Giả sử a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Û 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Û 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

Û (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) ≥ 0

Û (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0 (luôn đúng).

Vậy a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Cho parabol (P): y = 1/2 x^2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ...

Cho parabol (P): 1/2 x^2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ...

Cho tan a + cot a = m. Tìm m để tan^2 a + cot^2 a = 7...

Cho tan a + cot a = m. Tính tan^3 a + cot^3 a theo m...

Cho biểu thức A = (x + 2) / (x + 3) - 5 / (x^2 + x - 6) + 1 / (2 - x)...

Cho biểu thức P = (x + 2) / (x + 3) - 5 / (x^2 + x - 6) + 1 / (2 - x)...

Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu bỏ chữ số 0 ở tận cùng bên phải số đó...

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào giữa chữ số...

Giải phương trình 9^(x^2 + x - 1) - 10.3^(x^2 + x - 2) + 1 = 0...

Chứng minh bất đẳng thức: a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca...

Cho a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca. Chứng minh a = b = c...

Cho hình thoi ABCD, có góc A = 60 độ. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm...

Cho hình thoi ABCD có góc A = 60°. Gọi E, P, G, H lần lượt của trung điểm...

Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC...

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng d...

Số nghiệm của phương trình cos 2x + 3sin x − 2 = 0 trên khoảng...

Giải phương trình: cos 2x + 3sin x − 2 = 0...

Tính sin x, cos x, tan x, cot x biết sinx + cosx = căn 2...

Cho sinx + cosx = 2/3. Hãy tính: A = sin x.cos x...

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a...

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB...

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB...

A \ B được gọi là phần bù của B trong A khi nào...

Trị tuyệt đối A - trị tuyệt đối B nhỏ hơn bằng trị tuyệt đối A - B. Dấu “=” xảy ra khi nào...

Tìm BC của 4 và 6...

Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN: 10; 20 và 70...

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 4), B(−1; 4), C(−5; 1). Tìm tọa độ điểm D...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(−4; 2), B(2; 4...

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn...

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong trường hợp sau...

Cho phương trình x^2 − (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 với m là tham số có hai nghiệm...

Cho phương trình: x^2 − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0...

So le ngoài là như thế nào? Lấy ví dụ...

Cặp góc so le trong cùng phía; cặp góc so le ngoài cùng phía; cặp góc so le trong...

Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng...

Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng...

Cho đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 2m − 3. Chứng minh rằng với mọi m...

Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (m − 1)x + 2m − 3 luôn đi qua...

Tìm điều kiện của x để biểu thức (3x - 1) / (x^2 - 4) là phân thức...

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 6, 7, 9. Lấy 3 chữ số lập thành số a. Có bao nhiêu số a < 400...

Cho sáu chữ số: 2, 3, 5, 6, 7, 9. a) Có bao nhiêu số có ba chữ số, các chữ số trong mỗi số đều khác nhau...

Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên...

Xác định parabol y = ax^2 + bx + c, (a ≠ 0), biết rằng đỉnh của parabol đó có...

Xác định parabol (p): y = ax^2 + bx + c, (a ≠ 0), biết (p) cắt trục tung tại điểm...

Cho hai đường thẳng (d1): y = ax + b (a ≠ 0...

Tìm dư trong phép chia 325 cho 9...

Trong khoảng từ 160 đến 325 có bao nhiêu số chia hết cho 9...

Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1 − 2x)^12...

Hệ số của số hạng thứ 8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn (2 + 3x)^14...

Cho hàm số y = (m − 1)x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d...

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB, SC...

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC...

Một người làm 50 sản phẩm thì hết 8 giờ. Hỏi người đó làm 12 giờ...

1 388 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: