Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By

Đề bài: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

Lời giải:

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: Ax ⊥ AB; By ⊥ AB.

Suy ra: Ax // By hay AC // BD.

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang.

Gọi I là trung điểm của CD.

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC.

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB.

Vì OC và OD lần lượt là phân giác của $\widehat{AOM}$  và $\widehat{BOM}$  nên:

OC $\perp$ OD (tính chất của hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{COD}=90°$

Suy ra: IC = ID = IO $=\frac{1}{2}CD$  (tính chất tam giác vuông).

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD.

Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: