Cho n thuộc ℤ, chứng minh A = n^4 – 4n^3 – 4n^2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn

Cho n ∈ ℤ, chứng minh A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn

Đề bài: Cho n ∈ ℤ, chứng minh A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn.

Lời giải:

A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n

A = n(n³ – 4n² – 4n + 16)

A = n(n – 4)(n² – 4)         (1)

Vì n là số chẵn nên n = 2k (k là số nguyên dương) thay vào (1), ta được:

A = 2k(2k – 4)(4k² – 4) 

A = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) 

A = 16(k – 2)(k – 1)k(k + 1)      (2)

Do (k – 2)(k – 1)k(k + 1)  là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên tích này luôn chia hết cho 3 và 8, mà ƯC(3, 8) = 1 nên (k – 2)(k – 1)k(k + 1) chia hết cho 24                (3)

Từ (2) và (3), suy ra  A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n chia hết cho 384.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: