Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn đường kính AB

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ CH vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ CF và BD bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.

c) DE = BF.

Lời giải:

a) Tam giác AFB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác AFB vuông tại F

⇒ $\widehat{AFB}=90°$

⇒ BF ⊥ AK tại F

Mà AK vuông góc với CD (gt)

⇒ BF // CD

⇒ $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CF}$(hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau).

b) Đường kính AB vuông góc với CE tại H nên H là trung điểm của CE

Do đó, C đối xứng với E qua trục AB

⇒ BC = BE

⇒ $\stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{BE}$ (hai dây cung bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Mà $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CF}$(cmt)

⇒ $\stackrel{⏜}{BC}+\stackrel{⏜}{CF}=\stackrel{⏜}{BE}+\stackrel{⏜}{BD}\iff \stackrel{⏜}{BF}=\stackrel{⏜}{DE}$

c) Có: $\stackrel{⏜}{BF}=\stackrel{⏜}{DE}$ (cmt)

Do đó, BF = DE (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).