Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x^2 + 2 dư 2x − 1

Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x − 1

Đề bài: Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x − 1, chia cho x² + x dư 16x − 11. Tính P(100).

Lời giải:

Ta có: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x – 1

⇒ P(x) = Q(x).(x² + 2) + 2x – 1 (với Q(x) là đa thức bậc nhất)

⇒ P(x) = (ax + b)(x² + 2) + 2x – 1

Vì P(x) chia x² + x dư 16x – 11

⇒ P(x) – 16x + 11 chia hết cho x² + x.

Đặt R(x) = P(x) – 16x + 11

Khi đó R(x) = (ax + b)(x² + 2) – 14x + 10 chia hết cho x² + x

Vì thế hai nghiệm x = 0 và x = −1 của x² + x cũng là nghiệm của R(x), tức là:

$\left\{\begin{array}{c}\left(a.0+b\right)\left(0+2\right)-14.0+10=0\\ \left(-a+b\right)\left(1+2\right)-14.\left(-1\right)+10=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{c}a=3\\ b=-5\end{array}\right.$

⇒ P(x) = (3x – 5)(x² + 2) + 2x – 1

Vậy P(100) = 2905789.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: