Cho A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^20. Chứng minh rằng

Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰. Chứng minh rằng

Đề bài: Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰. Chứng minh rằng:

a) A chia hết cho 2.

b) A chia hết cho 3.

c) A chia hết cho 5.

Lời giải:

a) Ta có A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰.

= 2.(1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁹).

Vì 2 ⋮ 2 nên 2.(1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁹) ⋮ 2.

Vậy A ⋮ 2.

b) Ta ghép các số hạng của A thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng, ta được:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰.

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 2.(1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2¹⁷.(1 + 2 + 2² + 2³)

= (1 + 2 + 2² + 2³)(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

= (1 + 2 + 4 + 8)(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

= 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

Vì 15 ⋮ 3 nên 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷) ⋮ 3.

Vậy A ⋮ 3.

c) Vì 15 ⋮ 5 nên 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷) ⋮ 5.

Vậy A ⋮ 5.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: