Biết đa thức f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5, chia cho x + 2 dư 8

Biết đa thức f(x) = x³ + ax² + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5, chia cho x + 2 dư 8

Đề bài: Biết đa thức f(x) = x³ + ax² + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5, chia cho x + 2 dư 8. Khi đó giá trị của a và b là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: f(x) = x³ + ax² + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5

Suy ra f(x) – 5 chia hết cho x + 1

Hay x³ + ax² + bx + 2 – 5 chia hết cho x + 1

Suy ra x³ + ax² + bx – 3 chia hết cho x + 1

Do đó x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)

Khi đó (-1)³ + a(-1)² + b(-1) - 3 = 0

⇒ -1 + a – b – 3 = 0

⇒ a – b = 4 hay b = a – 4

Tương tự ta được f(x) – 8 chia hết cho x + 2

Hay x³ + ax² + bx + 2 – 8 chia hết cho x + 2

Suy ra x³ + ax² + bx – 6 chia hết cho x + 2

⇒ x = –2 là nghiệm của đa thức f(x)

⇒ (–2)³ + a(–2)² + b(–2) – 6 = 0

⇒ –8 + 4a – 2b – 6 = 0

⇒ 4a – 2b = 14

⇒ 2a – b = 7

Thay b = a – 4 vào ta có:

2a – (a – 4) = 7

2a – a + 4 = 7

a + 4 = 7

a = 3

⇒ b = 3 – 4 = –1

Vậy (a; b) = (3; –1)

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: