Với x > 9. Tìm GTNN của biểu thức P = x/ căn x - 3

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Với x > 9. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{x}{\sqrt{x}-3}$ .

Lời giải:

$P=\frac{x}{\sqrt{x}-3}=\frac{x-9+9}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}-3}+\frac{9}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}+6$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: $\sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}+6\ge 2\sqrt{\sqrt{x}-3.\frac{9}{\sqrt{x}-3}}+6=12$

Vậy GTNN của P là 12 khi ${\left(\sqrt{x}-3\right)}^2=9\iff \sqrt{x}-3=3$ (do $\sqrt{x}-3>0$ ) ⇔ x = 36.