Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC; B và C là hai tiếp điểm và một cát tuyến ADE đến (O).

a) Chứng minh AB² = AD.AE.

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh tứ giác DEOH nội tiếp, chứng minh HB là tia phân giác của $\widehat{EHD}$ .

Lời giải:

a) Xét tam giác ABD và tam giác ABE có:

Chung $\widehat{A}$

$\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$(vì AB là tiếp tuyến (O))

⇒ ∆ABD ∽ ∆AEB (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$

⇒ AB² = AD.DE

b) Ta có: AB,AC là tiếp tuyến của (O)

⇒AB ⊥ OB, BC ⊥ AO

⇒ BH ⊥ AO

⇒ AB² = AH.AO (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒ AH.AO = AD.AE

⇒ $\frac{AH}{AE}=\frac{AD}{AO}$

Mà $\widehat{DAH}=\widehat{EAO}$

⇒ ∆ADH ∽ ∆AOE (c.g.c)

⇒ $\widehat{AHD}=\widehat{AEO}$

⇒ DHOE nội tiếp

⇒ $\widehat{AHD}=\widehat{DEO}=\widehat{EDO}=\widehat{EHO}$

⇒ $\widehat{DHB}=90°-\widehat{AHD}=90°-\widehat{EHO}=\widehat{BHE}$

Nên: HB là phân giác $\widehat{EHD}$ .