Chứng minh vì sao số có ước lẻ là số chính phương

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Chứng minh vì sao số có ước lẻ là số chính phương.

Lời giải:

Gọi P là một số chính phương.

Ta có: P = k² (k ∈ ℕ)

Giả sử k phân tích ra thừa số nguyên tố là k = ax.by.cz.... (a, b, c là các số nguyên tố)

⇒ P = (ax.by.cz....)²

⇒ P = a²x.b²y.c²z

Vì 2 chia hết cho 2 nên 2x, 2y, 2z, ... cũng chia hết cho 2

⇒ 2x, 2y, 2z, ... là số chẵn

Số lượng ước của P là (2x + 1)(2y + 1)(2z + 1)...

Vì 2x, 2y, 2z, ... là số chẵn nên 2x + 1, 2y + 1, 2z + 1, ... là số lẻ

⇒ (2x + 1)(2y + 1)(2z + 1)... là số lẻ

⇒ Số lượng ước của P là 1 số lẻ

Vậy số chính phương luôn có số ước là 1 số lẻ.