Tìm x, y thỏa mãn 2015(x^2 + y^2) – 2014(2xy + 1) = 25

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Tìm x, y thỏa mãn 2015(x² + y²) – 2014(2xy + 1) = 25.

Lời giải:

2015(x² + y²) – 2014(2xy + 1) = 25

⇔ x² + y² + 2014(x – y)² = 2039

Nếu $\left|x-y\right|\ge 2$ thì ${\left(x-y\right)}^2\ge 4$

Suy ra: Vế trái > 8056 > 2039 (loại)

⇒ $\left|x-y\right|\le 1$

⇒ $\left[\begin{array}{l}\left|x-y\right|=0\\ \left|x-y\right|=1\end{array}\right.$

Nếu x = y thì 2x² = 2039 (vô lý)

Nếu y = x – 1 thì ta có: 2x² – 2x + 1 = 25

⇔ x² – x – 12 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-3\end{array}\right.$

Suy ra: $\left[\begin{array}{l}y=3\\ y=-4\end{array}\right.$

Nếu y = x + 1 thì: x² + (x + 1)² + 2014(x – x – 1)² = 2039

⇔ 2x² + 2x + 1 + 2014 – 2039 = 0

⇔ 2x² + 2x – 24 = 0

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-4\end{array}\right.$

Suy ra: $\left[\begin{array}{l}y=4\\ y=-3\end{array}\right.$

Vậy (x,y) ∈ {(4;3), (-3;-4), (3;4), (-4;-3)}.