Tìm số tự nhiênabc biết 1 + 2 + 3 + … +bc = abc

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Tìm số tự nhiên $\overline{abc}$ biết 1 + 2 + 3 + … +$\overline{bc}=\overline{abc}$ .

Lời giải:

1 + 2 + 3 + … +$\overline{bc}=\overline{abc}$

⇔$\frac{\overline{bc}.\left(\overline{bc}+1\right)}{2}=\overline{abc}$

⇔ $\overline{bc}\left(\overline{bc}+1\right)=2\overline{abc}$

⇔ $\overline{bc}\left(\overline{bc}+1\right)=2\left(\overline{bc}+100a\right)$

⇔ $\overline{bc}\left(\overline{bc}+1\right)-2\overline{bc}=200a$

⇔ $\overline{bc}\left(\overline{bc}-1\right)=200a$

Vì $\overline{bc}\left(\overline{bc}-1\right)$ là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên một thừa số là chẵn, một thừa số là lẻ.

Mà 200a = 2.100.a = 4.50.a = 8.25.a = 10.20.a = 20.10.a

Trong các tích trên, thì chỉ có thừa số 25 là thừa số lẻ, suy ra chỉ có a.8.25 là đáp ứng được điều kiện tích của 2 số tự nhiên liên tiếp với a.8 = 24, suy ra a = 3

Thay vào ta có: $\overline{bc}\left(\overline{bc}-1\right)=600$

Mà 600 = 25.24 nên $\overline{bc}=25$

Vậy số cần tìm là 325.