Tìm giá trị lớn nhất của M = sin^6x – cos^6x.

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Tìm giá trị lớn nhất của M = sin⁶x – cos⁶x.

Lời giải:

Ta có:

M = sin⁶x – cos⁶x

M = (sin²x – cos²x)(sin⁴x + sin²xcos²x + cos⁴x)

= – cos2x(1 - sin²xcos²x)

$=-\cos 2x\left(1-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\right)$

$=-\cos 2x\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{\cos }^{2}2x\right)\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}{\cos }^{2}2x\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$

(do cos2x ≤ 1)

Vậy GTLN của M bằng 1 khi cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ)