Tam giác ABC nội tiếp (O), AD là đường kính của (O). M là trung điểm của của BC, H là trực tâm của tam giác ABC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Tam giác ABC nội tiếp (O), AD là đường kính của (O). M là trung điểm của của BC, H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC. Chứng minh rằng 4 điểm X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.

Lời giải:

Giả sử HB cắt DY tại I, HC cắt DX tại K, J là trung điểm IK

Xét tam giác ADC có $\widehat{ACD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AC ⊥ CD

Mà BH ⊥ AC. Nên BH // CD

Tương tự: $\widehat{ABD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AB ⊥ BD

Mà CH ⊥ AB nên CH // BD

Xét tứ giác BHCD có: BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.

⇒ HD, BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Vì DX ⊥ HI, DI ⊥ HC suy ra K là trực tâm của tam giác IHD

Nên: $\widehat{KDI}=\widehat{KHI}=\widehat{HCD}$ (HI //CD)

$\widehat{CHD}=\widehat{KID}$(cùng phụ với )

Xét tam giác KID và tam giác CHD có:

$\widehat{KDI}=\widehat{HCD}$

$\widehat{KID}=\widehat{CHD}$

⇒ ∆KID ∽ ∆CHD (g.g)

Mặt khác CM, DJ là hai trung tuyến tương ứng của tam giác CHD và KID

Như vậy ta có: ∆DIJ ∽ ∆CHM

⇒ $\widehat{JDI}=\widehat{HCM}$

Từ đó suy ra: DJ vuông góc với BC tại Z hay Z thuộc đường tròn đường kính MJ.

Lại có: M là trung điểm HD (chứng minh trên)

X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC

Kết hợp tính chất điểm M thì đường tròn đường kính MJ là đường trò Ơ–le của tam giác HID.

Suy ra: X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.