Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi $\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B.\sin C}$ .

Lời giải: $\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B.\sin C}$

⇔ $\frac{b}{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}+\frac{c}{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}=\frac{abc}{\sin B.\sin C.bc}$

⇔ $\frac{2abc}{a^2+c^2-b^2}+\frac{2abc}{a^2+b^2-c^2}=\frac{a}{bc}.\frac{b}{\sin B}.\frac{c}{\sin C}$

⇔ $\frac{2abc}{a^2+c^2-b^2}+\frac{2abc}{a^2+b^2-c^2}=\frac{4a{R}^2}{bc}$

⇔ $\frac{4a^{3}bc}{\left(a^2+c^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)}=\frac{4a{R}^2}{bc}$

⇔ $\frac{a^{2}bc}{\left(a^2+c^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)}=\frac{R^2}{bc}$

⇔ R²(a² + c² – b²)(a² + b² – c²) = (abc)²

⇔ $\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right).R}{abc}.\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right).R}{abc}=1$

⇔ $\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2ac}.\frac{2R}{b}.\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)}{2ab}.\frac{2R}{c}=1$

Mà $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Suy ra: $\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2ac}.\frac{2R}{b}.\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)}{2ab}.\frac{2R}{c}=1$

⇔ $\frac{\cos B}{\sin B}.\frac{\cos C}{\sin C}=1$

⇔ cotB.cotC = 1

⇔ cotB = $\frac{1}{\cot C}=\tan C$

Suy ra: tam giác ABC vuông vì khi $\widehat{B},\widehat{C}$góc phụ nhau thì tan góc này bằng cotan góc kia.

Vậy tam giác ABC vuông khi $\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B.\sin C}$