Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.

a) 9x² – 6x + 2;

b) x² + x + 1;

c) 2x² + 2x + 1.

Lời giải:

a) 9x² – 6x + 2 = (3x – 1)² + 1

Vì (3x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên (3x – 1)² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x

Vậy 9x² – 6x + 2 > 0 với mọi x.

b) x² + x + 1 = ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$

Vì ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0,\forall x$ nên ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0,\forall x$

Vậy x² + x + 1 > 0 với mọi x.

c) 2x² + 2x + 1 = $2\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right)=2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$

Vì $2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0,\forall x$ nên $2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}>0,\forall x$

Vậy 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi x.