Chứng minh các biểu thức sau dương: a) x^2 – 8x + 20

Chứng minh các biểu thức sau dương: a) x^2 – 8x + 20

Đề bài: Chứng minh các biểu thức sau dương:

a) x² – 8x + 20.

b) 4x² – 12x + 11.

c) x² – x + 1.

d) x² – 2x + y² + 4y + 6.

Lời giải:

a) x² – 8x + 20 = (x² – 8x + 16) + 4 = (x + 4)² + 4

Vì (x + 4)² ≥ 0 với mọi x

Nên (x + 4)² + 4 > 0 với mọi x

Vậy biểu thức x² – 8x + 20 dương.

b) 4x² – 12x + 11 = (4x² – 12x + 9) + 2 = (2x – 3)² + 2

Vì (2x – 3)² ≥ 0 với mọi x

Nên (2x – 3)² + 2 > 0 với mọi x

Vậy biểu thức 4x² – 12x + 11 dương.

c) ${\text{x}}^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$

Vì ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$  với mọi x

Nên ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$  với mọi x

Vậy biểu thức x² – x + 1 dương.

d) x² – 2x + y² + 4y + 6

= (x² – 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + 1

= (x – 1)² + (y + 2)² + 1

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x

(y + 2)² ≥ 0 với mọi y

Nên (x – 1)² + (y + 2)² + 1 > 0 với mọi x, y

Vậy biểu thức x² – 2x + y² + 4y + 6 dương.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: