Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và = 60°. Gọi M, N, P theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và = 60°. Gọi M, N, P theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác INP đều.

Lời giải:

Ta thấy ΔBNC và ΔBPC là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B, P, N, C nằm trên đường tròn tâm I, đường kính BC.

Khi đó IN = IP ⇒ ΔINP cân tại I (1)

Tam giác ABN vuông tại N có: $\widehat{ABN}+\widehat{BAN}=90°$

⇒ $\widehat{ABN}=90°-\widehat{BAN}=90°-60°=30°$

Ta có $\widehat{PBN}$ là góc nội tiếp và $\widehat{PIN}$ là góc ở tâm cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{NP}$

Do đó $\widehat{PIN}=2\widehat{PBN}=60°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔINP đều.