Cho tam giác đều ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho tam giác đều ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM, D là trung điểm của BC.

a, Tính góc DIE và góc DIF.

b, Chứng minh rằng: tứ giác DEIF là hình thoi.

Lời giải:

a) + ΔAME vuông tại E có đường trung tuyến EI

⇒ EI = $\frac{1}{2}$ AM ⇒ EI = MI = AI

+ Tương tự ta có: DI = FI = AI = MI

Tam giác AEI cân tại I nên $\widehat{IAE}=\widehat{IEA}$

⇒ $\widehat{EIM}=2\widehat{IAE}$

Tương tự: $\widehat{MID}=2\widehat{IAD}$

⇒ $\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\widehat{IAE}+2\widehat{IAD}$

$\widehat{DIE}=2.30°=60°$(do góc $\widehat{EAD}=30°$)

$\widehat{DIF}=180°-\left(\widehat{AIF}+\widehat{MID}\right)=180°-\left(180°-2\widehat{IAF}+180°-2\widehat{IMC}\right)$

$\widehat{DIF}=180°-\left(360°-240°\right)$(do $\widehat{IAF}+\widehat{IMC}=120°$ )

Suy ra: $\widehat{DIF}=60°$

b) Tam giác DIE có: DI = EI mà $\widehat{DIE}=60°$ nên tam giác DIE đều

Suy ra: DI = EI = DE (1)

Tương tự: tam giác DIF đều vì DI = FI mà $\widehat{DIF}=60°$

Suy ra: DI = FI = DF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DE = EI = IF = DF

⇒ tứ giác DEIF là hình thoi.