Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm BC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm BC. Tính độ dài $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ .

Lời giải:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$(hình vẽ)

Suy ra: $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|=AE=\sqrt{A{M}^2+{\left(\frac{3}{2}AC\right)}^2+2.AM.\frac{3}{2}AC.\cos 30°}$

$=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{9a^2}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}.a^2\mathrm{.3.}\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{2}a$

Vậy: $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|=\frac{a\sqrt{21}}{2}$ .