Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH. Biết BC = 8cm, BH = 2cm a. Tính AB, AC, AH

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH. Biết BC = 8cm, BH = 2cm.

a. Tính AB, AC, AH.

b. Trên AC lấy điểm K (K khác A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng

minh rằng BD.BK = BH.BC.

c. Chứng minh rằng S_BHD = $\frac{1}{4}$ S_BKC.cos2$\widehat{ABD}$ .

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

AB² = BH.BC = 2.8 = 16 ⇒ AB = 4cm

CH = BC – BH = 8 – 2 = 6cm

AH² = BH.CH = 2.6 = 12 ⇒ AH = $2\sqrt{3}$ cm

AC² = CH.CB = 6.8 = 48 ⇒ AC = $4\sqrt{3}$ cm

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABK ta có:

AB² = BD.BK

Mà AB² = BH.BC

Nên BD.BK = BH.BC

c) S_ABC = $\frac{1}{2}AB.AC.\sin A$

S_ABC = $\frac{1}{2}CH.AB=\frac{1}{2}.AB.AC.\frac{CH}{AC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

S_BHD = $\frac{1}{2}.BH.BD.\sin \widehat{DBH}$

S_KBC = $\frac{1}{2}.BK.BC.\sin \widehat{KBC}$

Mà $\widehat{DBH}=\widehat{KBC}$

Suy ra: $\frac{S_{BHD}}{S_{KBC}}=\frac{BH.BD}{BK.BC}=\frac{2}{8}.\frac{BD}{BK}=\frac{1}{4}.\frac{B{D}^2}{BK.BD}=\frac{1}{4}.\frac{B{D}^2}{A{B}^2}=\frac{1}{4}.{\cos }^2\widehat{ABD}$

Vậy S_BHD = $\frac{1}{4}$ S_BKC.cos2$\widehat{ABD}$ .