Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 2

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 2.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm BH và AC

Do H là trực tâm nên AM ⊥ AC

Ta có: $\widehat{HBD}=90°-\widehat{BHD}=90°-\widehat{MHA}=\widehat{MAH}=\widehat{CAD}$

Xét tam giác BHD và tam giác ACD có:

$\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$

$\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90°$

Suy ra: ∆BHD ∽ ∆ACD (g.g)

⇒ $\frac{HD}{BD}=\frac{CD}{AD}$

⇔ $\frac{AD}{2BD}=\frac{CD}{AD}$ (do H là trung điểm AH nên 2HD = AD)

⇔ $\frac{AD}{BD}.\frac{AD}{CD}=2$

Xét trong tam giác vuông ABD có: tanB = $\frac{AD}{BD}$

Trong tam giác vuông ADC có: tanC = $\frac{AD}{CD}$

Suy ra: tanB.tanC = 2.